Séries de potências
Determine o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Pelo teste da razão, temos que
Já o raio de convergência é dada por,
Então podemos calcular o raio de convergência da série aplicando:
E nesse caso, . Como o cálculo envolve um módulo, podemos desconsiderar o , já que seu módulo será sempre . Vamos ficar com:
Logo, .
Passo 2
Analisando o termo , verificamos que o centro da expansão da série é . E então os extremos do intervalo de convergência serão dados por: e . Ou seja, os extremos serão e .
Passo 3
Só que ainda falta verificar se os extremos pertencem ao intervalo de convergência ou se apenas delimitam esse intervalo. Pra isso, vamos decidir sobre a convergência da série com os valores dos extremos no lugar de . Veja só:
Pra :
Essa é a série harmônica, ou uma p-série com e sabemos que isso não vai convergir.
Passo 4
Pra :
Vamos ver essa pelo teste das séries alternadas,
Primeiro repara que
É decrescente, quanto maior o menor o
Além disso, temos que
Logo pelo teste das séries alternadas, converge!! Então, pertence o intervalo.