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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

Questão 3) Consideremos a seguinte série de potências

f x = ∑ n = 1 ∞ 3 n x + 4 n n

  1. Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência (domínio) de f x .
  2. Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência (domínio) de f ' x .

Passo 1

Podemos determinar esse raio e esse domínio já supondo que pelo teste do razão a série converge, ou seja...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Onde o a n são os termos da sequência...

a n = 3 n x + 4 n n

Bora calcular então esse limite!

Passo 2

Bem, podemos falar que...

a n + 1 a n = 3 x + 4 n + 1 n + 1 3 x + 4 n n =

Realizando a divisão...

3 x + 4 n + 1 n + 1 ⋅ n 3 x + 4 n = 3 x + 4 n ⋅ 3 x + 4 3 x + 4 n ⋅ n n + 1 =

3 x + 4 ⋅ n n + 1

Então no limite do teste ficamos...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 x + 4 ⋅ n n + 1 =

Por ser 3 x + 4 uma constante perante n , ela sai da integral

3 x + 4 ⋅ lim n → ∞ ⁡ n n + 1

A raiz já é sempre positiva, então não há necessidade do módulo...

3 x + 4 ⋅ lim n → ∞ ⁡ n n + 1 =

Dividindo em cima e em baixo por n ...

3 x + 4 ⋅ lim n → ∞ ⁡ n / n n / n + 1 / n = 3 x + 4 ⋅ lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n =

Quando n vai ao infinito, então esse termo 1 / n vai a 0 e a raiz acaba indo a 1 , pogo o resultado do limite é...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 3 x + 4

Passo 3

Comparando com a exigência desse limite ter que ser menor que 1 ...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1             →                   3 x + 4 < 1                 →

x + 4 < 1 3

Logo o Raio de convergência é 1 3 e o intervalo de convergência é...

- 1 3 <   x + 4 < 1 3   →

- 1 3 - 4 <   x + 4 - 4 < 1 3 - 4 →

- 1 3 - 12 3 <   x < 1 3 - 12 3 →

- 13 3 <   x < - 11 3

Perceba que dessa forma só sabemos para o intervalo aberto. Mas o que acontece nas pontas do intervalo? Ou seja, x = - 13 3 e x = - 11 3 ?

Passo 4

Vamos verificar por outros meios (sem ser pelo teste da razão) a convergência de

f x = ∑ n = 1 ∞ 3 n x + 4 n n

Para x = - 13 3 ...

f x = ∑ n = 1 ∞ 3 n - 13 4 + 12 3 n n = ∑ n = 1 ∞ 3 - 1 3 n n =

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Bem essa é uma série alternada, e como 1 n é decrescente se aproximando de 0 , pelo método da séria alternada é converge.

Passo 5

Testando agora o outro ponto onde x = - 11 3 ...

f x = ∑ n = 1 ∞ 3 n x + 4 n n →

∑ n = 1 ∞ 3 n - 11 3 + 12 3 n n =

∑ n = 1 ∞ 3 1 3 n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n n =

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 / 2

Essa série diverge, 1 / 2 é menor que 1

Portanto o intervalo de convergência fica sendo o intervalo...

x ∈ - 13 3 , - 11 3  

Passo 6

O raio de convergência da derivada é o mesmo, ou seja:

R = 1 3

O intervalo no meio também é o mesmo...

- 13 3 <   x < - 11 3

Porém, nem precisamos avaliar nos pontos extremos, pois de acordo com a definição de derivada, o intervalo de existência de uma derivada é o intervalo aberto, saca?

Então o intervalo para a derivada, diferentemente do item anterior, será o aberto...

x ∈ - 13 3 ,   - 11 3

Resposta

a )

Raio de convergência: 1 3

Intervalo de convergência: x ∈ - 13 3 , - 11 3  

b )

Raio de convergência: 1 3

Intervalo de convergência: x ∈ - 13 3 , - 11 3

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