Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Agora sim: para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão na forma simplificada para séries de potências. Temos:

Então

Aqui vamos fazer um pequeno algebrismo:

Como , temos:

Para calcular esse limite, aplicamos, então, a Regra de L’Hospital (tanto o numerador como o denominador tendem a infinito). Derivando em cima e embaixo, temos:

Como , temos .

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em , sabemos que esse intervalo é:

Pelo menos nesse intervalo a série converge, agora precisamos descobrir se as extremidades e estão inclusas ou não.

Para , a série se torna:

Não temos como aplicar o Teste da comparação, pois essa série possui termos maiores dos que os de uma série que converge . Pelo formato da série, Comparação no limite também não serve. O Teste da razão também não serve, pois sem nenhuma potência ou fatorial, ele será inconclusivo (encontraremos ).

Vamos tentar, então, o Teste da integral, já que parece que não temos muitas opções. Temos:

Se

Temos . Agora, vamos calcular a integral com intervalo finito

Estamos usando como limite inferior por que a função não está definida em . Definindo

Temos

Agora vamos tomar o limite dessa expressão que encontramos.

Como a integral diverge, pelo Teste da integral, a série também diverge.

Portanto, não pertence ao intervalo de convergência.

Para , a série se torna:

Pelo Teste das séries alternadas, essa série converge, pois é decrescente e tende a zero quando tende a infinito.

Portanto, pertence ao intervalo de convergência.

Temos, então, .