Séries de Potências
Determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
Bom, primeiro vamos mudar um pouca a cara da nossa série.
Ou seja, temos uma série de potências centrada em com
Para achar o raio de convergência vamos usar o teste da razão:
Então, temos que
Passo 2
Portanto,
Então a série converge nesse intervalo.
Passo 3
Vamos verificar nos extremos do intervalo agora.
Para
E usando o teste das séries alternadas temos que a série converge, pois
Já que .
E
Passo 4
Para
Que sabemos da teoria que diverge!
Portanto, o intervalo de convergência da série é dado por:
Resposta
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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln n