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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

Considere a função f , definida pela série de potências

f x = ∑ m = 1 ∞ 2 m x - 1 m + 1 m m 2 + 1

a) Determine o raio e o intervalo de convergência dessa série

Passo 1

a)

Pra estudar a convergência dessa série vamos olhar para

c m = 2 m x - 1 m + 1 m m 2 + 1

E então, devemos aplicar a definição de raio de convergência:

lim m → ∞ ⁡ c m + 1 c m = L = 1 R

Resolvendo o limite,

lim m → ∞ ⁡ 2 m + 1 x - 1 m + 2 m + 1 m + 1 2 + 1 m m 2 + 1 2 m x - 1 m + 1 = lim m → ∞ ⁡ m m + 1 m 2 + 1 m 2 + 2 m + 2 2 x - 1

Passo 2

Resolver esse limite não é tranquilo, vamos separar em 3 partes

lim m → ∞ ⁡ m m + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 m = 1 1 + 0 = 1

lim m → ∞ ⁡ m 2 + 1 m 2 + 2 m + 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 m 2 1 + 2 m + 2 m 2 = 1 + 0 1 + 0 + 0 = 1 1 = 1

lim m → ∞ ⁡ 2 x - 1 = 2 x - 1

Vamos ter então

lim m → ∞ ⁡ m m + 1 m 2 + 1 m 2 + 2 m + 2 2 x - 1 = 1.1 . 2 x - 1 = 2 x - 1

Passo 3

Pelo teste da razão, para convergir, temos:

2 x - 1 < 1

Resolvendo essa inequação

x - 1 < 1 2

- 1 2 < x - 1 < 1 2

1 2 < x < 3 2

Passo 4

Vamos agora analisar os extremos do intervalo.

Para x = 1 2

Temos que a série é igual a:

∑ n = 1 ∞ 2 m 1 2 - 1 m + 1 m m 2 + 1 = ∑ n = 1 ∞ 2 m - 1 m + 1 2 m + 1 m m 2 + 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 m + 1 2 m m 2 + 1

Essa é uma série alternada. Para ver se ela converge, vamos aplicar o teste da série alternada

b m = 1 2 m m 2 + 1

Devemos ter b m indo para 0 quando m → ∞ , e b m sendo decrescente.

Essas duas situações são verdadeiras, logo a série é convergente.

Passo 5

Para x = 3 2

∑ n = 1 ∞ 2 m 3 2 - 1 m + 1 m m 2 + 1 = ∑ n = 1 ∞ 2 m 2 m + 1 m m 2 + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 m m 2 + 1

Vamos usar o teste da comparação no limite. Isso porque o termo geral tem aquela carinha de polinômio no denominador rs. Seria algo de grau 2 . Então, vamos comparar com

a m = 1 m 2

lim m → ∞ ⁡ 1 2 m m 2 + 1 1 m 2 = lim m → ∞ ⁡ 1 2 1 + 1 m 2 = 1 2

Logo, como a m é o termo geral de uma p-série com p = 2 , ela converge.

Passo 6

Logo temos que o raio de convergência é 1 2 e o intervalo de convergência é

1 2 , 3 2

Resposta

R = 1 2   e   1 2 , 3 2

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