Determine o intervalo de convergência da função
Passo 1
Bem, temos aqui uma série e ele pediu o intervalo de convergência. Para determiná-lo, podemos usar o teste da razão em que se:
A série irá convergir. Vamos determinar esses termos. Pelo somatório, temos que:
Passo 2
Agora, vamos substituir e calcular o limite:
Dá para simplificar uma parte, olha só:
Então, usamos a propriedade do limite para separar em dois.
Como não depende de , o limite da direita vai sumir:
Vamos olhar para esse limite à esquerda. Podemos simplificar ainda mais isso aí:
Dividimos tudo pelo maior grau em cada limite :
Todo esse trabalho para dar ? Isso mesmo, segue o jogo hahaha.
Voltando lá para o teste da razão, chegamos na relação:
Passo 3
Legal, agora temos a relação que queríamos e podemos encontrar o raio de convergência.
De forma geral, temos que:
Então, vamos deixar nessa forma. Colocando em em evidência, temos:
Como é módulo, dá para mudar o sinal do que está dentro sem peso na consciência. Assim, nosso raio de convergência vai ser :
Passo 4
Vamos agora para o intervalo de convergência. Pelo módulo, temos que:
Assim, teremos:
Para as fronteiras, vamos ter que testar. Quando :
Temos aqui uma série alternada. Então pode ser uma boa usar o teste da série alternada. Show, temos aqui, pela boa ordem:
Então o termo . Além disso, tirando o limite:
Assim, pelo teste da série alterada, essa série vai convergir e faz parte do intervalo de convergência. Agora, para :
Podemos comparar essa série com a -série que diverge :
Usando o teste de comparação no limite, vamos ter:
Como o limite deu um número real e a série com qual comparamos diverge, segue que
E, portanto, não faz parte do nosso intervalo de convergência.
Passo 5
Beleza, vamos montar esse resultado aí. Vimos que
Sendo que em , converge e em diverge. Então nosso intervalo de convergência será: