2. Encontre uma representação em série de Maclaurin para a e determine o raio de convergência.

c) , onde

Vishhhh, a função que nos deram é uma integral?!!!!

Relaxa!! Vamos lembrar que a integral é o processo inverso da derivada, então:

UFAA! Agora a gente consegue calcular as outras derivadas 😊 Então vamos lá!

Tô vendo padrão nenhum kkkkk Vamos ver se melhora quando olhamos essas funções para

A gente consegue observar uma coisa... as derivadas de ordem par são todas iguais a zero. As ímpares tem um padrãozinho sobre o seu sinal.

Bom... Escrever uma cara para essa série pode não ser muito intuitivo de cara. Então, nesses casos, vale a pena a gente escrever alguns termos da série de Maclaurin e ver se a gente consegue escrever uma fórmula para eles. Abrindo alguns valores da série temos:

Usando o que a gente sabe sobre a cara das derivadas dessa função, temos:

Opa!! A gente pode escrever o seguinte:

Justamente pois quando tivermos temos uma potência de , para temos e por aí vai, certo? Isso é bem padrão quando nos deparamos com uma série em que os expoentes de são todos ímpares.

A gente também conhece descobrir o ele fica alternando entre negativo e positivo, certo? Como ele começa com valores negativos, podemos dizer que:

Esse a gente encontra olhando os possíveis resultados:

E a fórmula geral de fica:

Dessa maneira, a série fica representada como:

Agora a gente vai encontrar o raio de convergência. Como a gente obteve esse cara aqui:

Vamos calcular esse limite

Calculando o limite:

Então e

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??