Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potência a seguir:

b ∑ n = 0 ∞ 3 n x n  

Passo 1

Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries de potência.

Para responder essa questão precisamos analisar o raio de convergência da série, esse é um parâmetro bem importante.

Esse parâmetro é importante porque define se a série tem algum sentido físico, tipo imaginar medir uma temperatura por uma série. Tem sentido ela ir para o infinito? Ficaria muito quente né? Bem mais que nosso sol, aí não tem muito sentido não.

Ai para calcular o raio de convergência vamos precisar da seguinte formulinha:

1 R = a n + 1 a n  

Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa?

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo a n da série, então vamos lá:

a n = 3 n = 3 n

Agora vamos calcular o termo a n + 1

a n + 1 = 3 n + 1 = 3 * 3 n

Agora precisamos verificar a seguinte inequação:

a n + 1 a n = 3 * 3 n 3 n = 3

Logo temos que:

1 R = a n + 1 a n = 3    

Portanto temos que:

R = 1 3

Desfazendo o módulo, temos que:

- 1 3 < R < 1 3

Passo 3

Agora que já calculamos o raio de convergência precisamos apenas analisar os extremos, logo:

Fazendo x = - 1 3 , temos que:

∑ n = 0 ∞ 3 n x n   = ∑ n = 0 ∞ 3 n - 1 n 3  

Para analisar a convergência dessa série precisamos dos critérios das séries alternadas, portanto, precisamos das seguintes igualdades:

  1. a n + 1 < a n
  2. a n   = 0

Calculando a seguinte expressão:

a n   = 3 n - 1 n 3   = ∞

Portanto, diverge pelo critério das séries alternadas.

Passo 4

Agora vamos calcular x = 1 3 , gerando a seguinte série:

∑ n = 0 ∞ 3 n 3  

Que é uma série divergente, logo os extremos não estão inclusos no raio de convergência.

Resposta

- 1 3 < R < 1 3

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