UFV-Calculo 2- Lista – Teste 09 -2022.2
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potência a seguir:
Passo 1
Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?
Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries de potência.
Para responder essa questão precisamos analisar o raio de convergência da série, esse é um parâmetro bem importante.
Esse parâmetro é importante porque define se a série tem algum sentido físico, tipo imaginar medir uma temperatura por uma série. Tem sentido ela ir para o infinito? Ficaria muito quente né? Bem mais que nosso sol, aí não tem muito sentido não.
Ai para calcular o raio de convergência vamos precisar da seguinte formulinha:
Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa?
Passo 2
Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo da série, então vamos lá:
Agora vamos calcular o termo
Agora precisamos verificar a seguinte inequação:
Logo temos que:
Portanto temos que:
Desfazendo o módulo, temos que:
Passo 3
Agora que já calculamos o raio de convergência precisamos apenas analisar os extremos, logo:
Fazendo , temos que:
Para analisar a convergência dessa série precisamos dos critérios das séries alternadas, portanto, precisamos das seguintes igualdades:
Calculando a seguinte expressão:
Portanto, diverge pelo critério das séries alternadas.
Passo 4
Agora vamos calcular , gerando a seguinte série:
Que é uma série divergente, logo os extremos não estão inclusos no raio de convergência.