Encontre a região de convergência da série de potências:
Passo 1
a)
Esse item pede para que encontremos a região de convergência dessa série de potencias e, para isso, precisaremos de usar o e o .
Como não temos uma série de potencias bonitinha no formato que vimos na teoria teremos que aplicar o Teste da Razão na forma tradicional (diferente daquele pulo do gato que fazemos normalmente).
Passo 2
Vamos utilizar o teste da razão para encontrar o raio de convergência, lembrando que a série convergirá se:
E divergirá caso esse mesmo limite seja maior do que 1. Calculando esse limite temos que
Como será uma constante para cada valor de .
Passo 3
Agora temos que fazer uma análise sobre o raio de convergência. Lembra que na teoria nós tínhamos que
Onde era o resultado do limite independente de e o inverso do raio de convergência. Nós temos uma coisa parecida no nosso problema, mas o termo está ao quadrado. Vamos concordar então que nada mais justo que manipularmos o nosso limite para encontrarmos algo parecido com o que queremos.
Logo fica bem claro que e, consequentemente, .
Passo 4
Como a série é centrada em já sabemos que o intervalo de convergência será.
Temos que analisar as extremidades agora e isso nos dá a seguinte série nas duas extremidades.
Lembrando os critérios de Leibniz, dada uma série alternada
Se ela satisfizer essas duas condições:
Na nossa série teremos.
Logo a série converge absolutamente nas extremidades também e o intervalo será.