USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 7
Dadas as séries
considere as afirmações:
(I) (A) converge para , (B) diverge para .
(II) (A) converge para , (B) diverge para e .
(III) (A) diverge para , (B) diverge para .
(IV) (A) converge para , (B) converge para .
Podemos afirmar que são corretas:
a) Apenas (IV).
b) Apenas (I) e (III).
c) Apenas (II) e (IV).
d) Apenas (III).
e) Todas são falsas.
Passo 1
Fala pessoal, prontos para uma questão sobre séries de potência da POLI? Partiu!!!
O problema forneceu duas séries de potência e quer que achemos para quais valores de cada uma converge. Vamos começar pela primeira série:
O termo geral dessa série é
Assim,
Portanto,
Pelo teste da razão, a série será convergente se e divergente se . Para que ela seja convergente:
E será divergente para
Para não podemos afirmar nada ainda!
Passo 2
Vamos ver agora o que acontece com a série (A) quando . Note que
Assim,
Quando , . Portanto, como o termo geral não tende a zero, a série é divergente! Com isso, temos que a série (A) converge para
e diverge para
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .
Passo 3
Agora vamos olhar para a segunda série:
O termo geral dessa série é
Assim,
Portanto,
Logo,
Desta forma,
Para que a série seja convergente:
Para ou ela será divergente pois .
Passo 4
Já conseguimos ir para as afirmativas. A (I) diz que (A) converge para , (B) diverge para , o que é verdade!
Já a (II) diz que (A) converge para , (B) diverge para e , o que é falso pois o intervalo de convergência de (A) está errado!
A afirmativa (III) fala que (A) diverge para , (B) diverge para , o que é verdadeiro. Por fim, a afirmativa (IV) diz que (A) converge para , (B) converge para , que é mentira pois (A) não converge para .
Com isso, vemos que apenas as afirmativas (I) e (III) são verdadeiras, o que nos leva a alternativa B!
Resposta
Alternativa B.