Séries de potências, Teste da razão
Considere a série de potências
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Passo 1
Como temos potência na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esse caso.Temos:
Onde
Passo 2
Isso nos dá
Temos
A série vai convergir, assim
Portanto, o raio de convergência é .
Passo 3
Sabemos que o intervalo de convergência é dado por:
Como e :
Agora temos que descobrir a convergência nos extremos
Passo 4
Para
Essa é uma série alternada, inicialmente precisaríamos fazer o teste da série alternada. Repara que essa série é
A sua série em módulo é uma série com , ou seja, é convergente, assim a série do módulo converge, isso nos diz que ela é absolutamente convergente, que significa que essa série converge para
Passo 5
Para
Repara que
Essa é uma série com , assim a série converge.
Temos, então: