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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

Estude a convergência da série de potências:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x + 2 n 3 n n 2

Passo 1

Pra estudar a convergência dessa série vamos primeiro olhar para

c n = - 1 n 3 n n 2

E então, devemos aplicar a definição de raio de convergência:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L = 1 R

Resolvendo o limite,

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 3 n + 1 n + 1 2 3 n n 2 - 1 n = 1 3   n 2 n + 1 2 = 1 3 = L

E como L = 1 R , teremos que o raio de convergência é R = 3 .

Passo 2

Sabemos que, analisando o termo x + 2 n , podemos dizer que o centro da expansão da série é x 0 = - 2 . E portanto o intervalo de convergência da série tem extremos x 0 - R e x 0 + R . Logo, o intervalo de convergência tem extremos - 5 e 1 .

Passo 3

Agora vamos verificar se os extremos pertencem ou não ao intervalo de convergência. Pra isso, vamos verificar se a série converge, fazendo x = - 5 e x = 1 . Veja só:

Pra x = - 5 :

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Que pelo teste da integral:

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

Com x → ∞ , a integral converge pra 1!

Verificamos que converge! Então, x = - 5 pertence ao intervalo!

Pra x = 1 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2

Vamos usar o teste da série alternada aqui! Como

n 2 < n + 1 2 → 1 n 2 > 1 n + 1 2

Logo é decrescente. Além disso, temos que

lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 = 0

Logo é convergente!

Resposta

R = 3

- 5,1

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n