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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

Encontre o intervalo de convergência da série ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7 x - 2 n . Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.

Passo 1

Temos primeiro que achar o raio de convergência da nossa série de potências, R . Lembrando que.

c n = 1 2 n + 7

c n + 1 = 1 2 n + 1 + 7 = 1 2 n + 9  

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L ,     R = 1 / L

Passo 2

Calculando o limite

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 7 2 n + 9 = 1

Logo o raio de convergência será

R = 1 1 = 1

Disso já podemos afirmar que o intervalo de convergência é.

( 1,3 )

Agora devemos analisar os extremos

Passo 3

Analisando o extremo x = 1

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7 1 - 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7 - 1 n

Temos então uma série alternada e temos, pelo critério de Leibiniz, que ela convergirá se:

b n + 1 ≤ b n   p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ b n = 0                                            

Onde b n e b n + 1 serão iguais a a n e a n + 1 , respectivamente. Dessa forma teremos.

1 2 n + 9 ≤ 1 2 n + 7

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 7 = 0

Logo a série converge em x = 1 .

Passo 4

Analisando o extremo x = 3

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7 3 - 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7

Pelo teste da comparação no limite com a série harmônica, temos.

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 7 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 7 = 1 2

Logo, a nossa série:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7

Irá divergir, assim como a série harmônica diverge. Então em x = 3 a série diverge, e nosso intervalo de convergência será:

[ 1,3 )  

Resposta

[ 1,3 )  

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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