UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 3º Estágio - 2022.1, Questão 5.
5 – Determine o raio e o intervalo de convergência absoluta da seguinte série de potências:
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema estamos interessados em descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série de potências.
E então! Como fazemos isso? 🤔
Para descobrir o intervalo e o raio de convergência de uma série, temos que aplicar o teste da razão.
Esse teste consiste em obter o limite de e se o resultado for menor que , e série converge, mas se for igual a , não podemos afirmar nada. Nesse último, forçamos o limite a ser igual a e calculamos individualmente.
Veja só! 👀
Passo 2
Se , , aplicando no limite, temos
Aplicando uma propriedade de exponenciais, temos que pode ser reescrito como
Assim simplificamos
Tirando o do limite e aplicando a regra de
Resultando em
Novamente aplicando
Com isso, temos
Dividindo tudo por
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Como o resultado deve ser menor que , então para a série convergir,
Logo, o raio é convergência é !
Porém, por esse teste, se o limite for igual a , não podemos afirmar nada, o seja, podemos ter uma convergência ou uma divergência.
No primeiro caso, temos
Ou seja, uma série alternada.
Aplicando o método da série alternada, temos que se for decrescente e o limite de for igual a , a série converge.
Vemos que o numerador de e o denominador cresce conforme aumenta, então é decrescente e como e vão a se , então o limite
Então faz parte do intervalo de convergência!
Entendeu essa parte? 👍
Passo 4
Por último, no caso de , temos
Nesse caso, temos que aplicar o teste da integral, pois por conta desse o resultado aparecerá mais fácil.
Esse teste diz que se converge para um valor, então a série também converge.
Fazendo se transformar em temos
Aplicando o teste...
Pelo método da substituição temos que
Aplicando os limites de integração...
Calculando o limite
Como vai a , vai a também, portanto
Como a integral não convergiu, em a série diverge!
Com isso, vimos que o raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .