Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

10)

f x = x 2 a 3 - x 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = x 2 a 3 - x 3

Para isso, devemos analisar uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Sabendo dessa função a gente pode manipular a nossa função para descobrirmos a nossa série!!

Em seguida, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série que descobriremos.

Para isso, devemos analisar a razão da série geométrica resultante na expressão geral da nossa série e fazer seu módulo ser menor que 1 (para a série convergir).

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... Reescrevendo a nossa função para que possamos comparar com a nossa função exemplo, temos:

f x = x 2 a 3 1 - x 3 a 3

Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo x 2 a 3 e razão x 3 a 3 , ou seja:

f x = x 2 a 3 + x 5 a 6 + x 8 a 9 …

Assim, temos a seguinte série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 a 3 x 3 a 3 n

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

x 3 a 3 < 1 ∴

x 3 a 3 < 1 ∴

x 3 < a 3 ∴

x < a

Ou seja, o intervalo de convergência é - a , a se a > 0 , ou a , - a , se a < 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 a 3 x 3 a 3 n

- a , a se a > 0 , ou a , - a , se a < 0

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