Séries de potências
Encontre o intervalo de convergência da série
Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.
Passo 1
Começamos observando que a série está centrada em , já que .
Além disso, podemos identificar os coeficientes:
Passo 2
Ótimo, agora vamos aplicar o Teste da Razão:
Passo 3
Assim, o raio de convergência é
o que significa que o intervalo de convergência é
Passo 4
O último passo é verificar a convergência da série nos extremos:
Para :
Para você que conhece essa série e já sabe que ela é a série harmônica e, portanto, diverge, eis aqui uma breve explicação para você se gabar na prova:
O limite, quando , do termo geral pode ser calculado da seguinte forma:
O teste da divergência não nos disse nada aqui :/ (se o limite tivesse dado diferente de , poderíamos afirma que a série é divergente)
Mas se olharmos com mais cuidado essa série é uma p-série com , ou seja, essa série diverge!
Passo 5
Para :
Esta é uma série alternada! Nessa série:
Temos que:
Para todo n. Além disso:
É, pois, convergente, pelo teste da série alternada.
Finalmente, concluímos que o intervalo de convergência é .
Resposta
.