Séries de potências
Resolva os seguintes itens sobre séries:
Determine o centro da série de potências e o seu intervalo de convergência
Passo 1
Primeiro vamos descobrir o centro da série de potências, comparando com a forma geral:
Onde é o centro da série. Certo, então vamos reescrever nossa série nessa forma, com o coeficiente do sendo :
Colocamos o em evidência, ok? É muito importante que você reescreve a série na forma geral, tanto para achar seu centro como para aplicar testes de séries de potências.
Vemos, então, que
Esse é o centro da série.
Passo 2
Agora vamos achar o raio de convergência. Como temos potência no numerador e no denominador, o teste da razão parece uma boa, vamos usá-lo na forma especial para séries de potências. Temos:
Nesse caso então
Aplicando o teste da razão
Temos então .
Passo 3
Mas não é o raio que o problema pede, sim o intervalo. Sabemos que o intervalo de convergência é dado por:
Como e :
Mas não sabemos se esse intervalo é fechado, aberto ou semiaberto, em outras palavras, não sabemos se a série converge para os extremos e . Para descobrir isso, temos que substituir esses valores!
Para
Essa série diverge, podemos provar isso fazendo a comparação no limite com a Série harmonia ou simplesmente mudando índice de para , Fazendo isso, precisamos “tirar 1” onde tem na série, para compensar. Temos então:
A Série harmônica, que diverge. Então, já vimos que não pertence ao intervalo.
Para
Usando o mesmo raciocínio do caso anterior, podemos reescrever essa série como
Essa é a Série harmônica alternada, que converge. Podemos provar isso pelo Teste das séries alternadas, pois é decrescente e tem limite zero quando . Portanto, faz parte do intervalo de convergência.
Temos, então: