Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

Ver Teoria
Exercício 131234567891011121415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Séries de Potência

Determine o intervalo de convergência

∑ n = 1 ∞ x n 2 n n 2 3

Passo 1

Vamos começar achando o raio de convergência dessa série, para isso vamos aplicar o teste da razão na forma simplificada para séries de potências.

c n = 1 2 n n 2 3

Vamos dar uma arrumadinha nisso

c n = 1 2 n n 2 1 / 3 = 2 n n 2 - 1 / 3 = 2 - n / 3 n - 2 / 3

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 2 - n + 1 / 3 n + 1 - 2 / 3 2 - n / 3 n - 2 / 3 =

lim n → ∞ ⁡ 2 - n / 3 - 1 3 2 - n / 3 n + 1 n - 2 / 3 = lim n → ∞ ⁡ 2 - 1 / 3 1 + 1 n - 2 / 3 = 2 - 1 / 3 1 + 1 ∞ - 2 / 3 =

2 - 1 / 3 1 + 0 - 2 / 3 = 2 - 1 / 3

Como R = 1 / L , temos

R = 1 2 - 1 / 3 = 2 1 / 3

Passo 2

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em a = 0 sabemos que esse intervalo vai ser

a - R , a + R = 0 - 2 1 / 3 , 0 + 2 1 / 3 = - 2 1 / 3 , 2 1 / 3

Pelo menos nesse intervalo a série converge, agora vamos descobrir nas extremidades.

Passo 3

Primeiro para

x = 2 1 / 3

A série vai ficar

∑ n → 1 ∞ 2 1 / 3 n 2 n n 2 3 = ∑ n → 1 ∞ 2 n / 3 2 n n 2 3

Arrumando aquele cara baixo temos

∑ n → 1 ∞ 2 n / 3 2 n n 2 3 = ∑ n → 1 ∞ 2 n / 3 2 n / 3 n 2 / 3 = ∑ n → 1 ∞ 1 n 2 / 3

E essa é uma p série com p < 1 então essa série diverge para x = 2 1 / 3

Passo 4

Vamos fazer agora

x = - 2 1 / 3

A série vai ficar

∑ n → 1 ∞ - 2 1 / 3 n 2 n n 2 3 = ∑ n → 1 ∞ - 1 n 2 n / 3 2 n n 2 3

Arrumando aquele cara baixo temos

∑ n → 1 ∞ - 1 n 2 n / 3 2 n n 2 3 = ∑ n → 1 ∞ - 1 n 2 n / 3 2 n / 3 n 2 / 3 = ∑ n → 1 ∞ - 1 n n 2 / 3

Essa é uma série alternada, vamos fazer o teste da série alternada, aqui temos

b n = 1 n 2 / 3

Temos que ver se esse cara é decrescente e se o seu limite vai para 0 .

Para ver se ele é decrescente vamos achar sua derivada e ver se ela é negativa

f n = b n

f x = 1 x 2 / 3

Derivando temos

f ' x = - 2 3 x - 5 / 3

Como x > 0 para o nosso caso temos que x - 5 / 3 é sempre positivo, então

f ' x < 0

Vamos agora ao limite, que é bem tranquilo né

lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 / 3 = 1 ∞ = 0

Logo pelo teste da série alternada ela converge para x = - 2 1 / 3

E o intervalo de convergência vai ser

- 2 1 / 3 , 2 1 / 3

Resposta

- 2 1 / 3 , 2 1 / 3

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n