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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 9 – Exercício 25

(Capítulo 11.9 – Exercício 25) Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

∫ t 1 - t 8 d t

Passo 1

Oiii, vamos lá resolver esse exercício!

Temos a integral de uma função f ( x ) aí queremos escrever essa integral usando uma série de potências, que é algo escrito assim:

∑ c n . x - a n

Ou seja, queremos reescrever a integral olhando pelo ponto de vista de série de potências, ok?

E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série

Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro ∞ , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Passo 2

Passo 3

Temos

∫ t 1 - t 8 d t

Dentro da integral, temos algo no estilo

c 1 - d

Ou seja, um valor c dividindo 1 - alguma coisa

Isso parece muito a representação de uma série com o resultado assim:

a 0 1 - r

Em que a 0 é o primeiro termo da série e r é a razão:

∑ n = 0 ∞ a 0 . r n = a 0 . 1 1 - r ,     r < 1

Então

t 1 - t 8 = ∑ n = 0 ∞ t . t 8 n ,     t 8 < 1

Passo 4

Reescrevendo a integral com a série que encontramos:

∫ t 1 - t 8 d t = ∫ ∑ n = 0 ∞ t t 8 n d t

∫ t 1 - t 8 d t = ∫ ∑ n = 0 ∞ t 8 n + 1 d t

Logo acima, a série de potências representa a soma de uma série geométrica de primeiro termo t e razão t 8 , beleza?

Agora a gente integra a série, lembrando que a integral de x n é x n + 1 n + 1

∫ ∑ n = 0 ∞ t 8 n + 1 d t = ∑ n = 0 ∞ t 8 n + 1 + 1 8 n + 1 + 1  

Então,

∫ t 1 - t 8 d t = ∑ n = 0 ∞ 1 8 n + 2 t 8 n + 2

Passo 5

Como a gente usou a série geométrica com razão t 8 lá no passo 2, pra haver convergência temos que ter:

t 8 < 1

t < 1

- 1 < t < 1

Então, R = 1 , beleza?

Resposta

∫ t 1 - t 8 d t = ∑ n = 0 ∞ 1 8 n + 2 t 8 n + 2

R = 1

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