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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

UTFPR. Campus Londrina. Cálculo 3. Listas de Estudos. 2022.2. Questão 4.

4 – Estude detalhadamente o intervalo de convergência da série de potência ∑ n = 1 ∞ n x - 1 n n 3 + 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos uma série de potência dada por ∑ n = 1 ∞ n x - 1 n n 3 + 1 e temos que que determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.

A princípio, uma série de potência genérica é dada por ∑ n = 1 ∞ c n x - a n e a n = c n x - a n .

A partir do teste da razão, temos que descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série

Como será que fica essas informações para nossa série? 🤔🤔

Antes de aplicar para nosso caso, vamos relembrar como aplicamos o teste da razão para séries.

Esse teste consiste em calcular o limite lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n . se o resultado desse limite for um valor menor que 1 , significa que a série a n converge, se resultar em um valor maior que 1 a serie a n diverge, mas se resultar em 1 , não podemos afirmar nada.

Com essa brecha nesse último quesito, analisamos a convergência da série nos extremos do intervalo separadamente.

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

Aplicando o teste da razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n ,     a n = n x - 1 n n 3 + 1 a n + 1 = n + 1 x - 1 n + 1 n + 1 3 + 1

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 1 n + 1 n + 1 3 + 1 n x - 1 n n 3 + 1

Podemos simplificar essa fração se lembrarmos que a b + c = a b a c , ou seja, x - 1 n + 1 = x - 1 n x - 1 1

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 1 n x - 1 1 n + 1 3 + 1 n x - 1 n n 3 + 1

Dessa forma, como x - 1 n está multiplicando o numerador das duas frações podemos simplificá-los

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 1 1 n + 1 3 + 1 n n 3 + 1

Calculando os produtos e as potências...

lim n → ∞ ⁡ x n - n + x - 1 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 2 n n 3 + 1

Calculando os extremos sobre os meios, temos

lim n → ∞ ⁡ x n - n + x - 1 n 3 + 1 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 2 n

lim n → ∞ ⁡ x n 4 + x n - n 4 - n + x n 3 + x - n 3 - 1 n 4 + 3 n 3 + 3 n 2 + 2 n

Enorme, não é?

Relaxa vamos simplificar esse limite!

Passo 3

Dividindo todos os termos pela variável de maior ordem, no caso, n 4 , temos

lim n → ∞ ⁡ x n 4 n 4 + x n n 4 - n 4 n 4 - n n 4 + x n 3 n 4 + x n 4 - n 3 n 4 - 1 n 4 n 4 n 4 + 3 n 3 n 4 + 3 n 2 n 4 + 2 n n 4

lim n → ∞ ⁡ x + x n 3 - 1 - 1 n 3 + x n + x n 4 - 1 n - 1 n 4 1 + 3 n + 3 n 2 + 2 n 3

Dessa forma, fazendo n tender a ∞ , vamos observar que como x é um valor finito, os termos x n 3 , 1 n 3 , x n , x n 4 , 1 n , 1 n 4 , 3 n , 3 n 2 e 2 n 3 tendem a 0 já que estamos dividindo um numero muito pequeno por um número muito grande. Ou seja

lim n → ∞ ⁡ x + 0 - 1 - 0 + 0 + 0 - 0 - 0 1 + 0 + 0 + 0

lim n → ∞ ⁡ x - 1 = x - 1

Forçando esse resultado a convergir, fazemos x - 1 ser menor que 0 , ou seja, x - 1 deve estar entre - 1 e 1 .

x - 1 < 1

- 1 < x - 1 < 1

Somando 1 em todos os lados, temos

- 1 + 1 < x - 1 + 1 < 1 + 1

0 < x < 2

Portando o intervalo de x entre 0 e 2 é o intervalo de convergência da série sendo 1 o raio de convergência.

Mas lembra que quando lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 não podemos afirmar nada? Então em x = 0 e em x = 2 , vamos ter que analisar separadamente.

Bora lá! 😁

Passo 4

Nossa serie é dada por

∑ n = 1 ∞ n x - 1 n n 3 + 1

Então se x = 0 , temos que

∑ n = 1 ∞ n 0 - 1 n n 3 + 1

∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 3 + 1

Temos aqui uma série alternada que genericamente é dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n

Segundo o teste das series alternadas, a série converge se a n for decrescente e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

No caso, a n = n n 3 + 1 e como essa fração é composta por dois polinômios sendo que no numerador o polinômio é de ordem 1 e no denominador é de ordem 3 e sempre positivo para n > 0 , o denominador é sempre maior que o numerador, portanto, a n é decrescente.

Calculando o limite de a n , temos

lim n → ∞ ⁡ n n 3 + 1

Aplicando a regra de L’Hopital derivando o numerador e o denominador, temos

lim n → ∞ ⁡ d n d n d n 3 + 1 d n

Derivando pelo método de derivação polinomial...

d n d n = n 1 - 1 = 1

d n 3 + 1 d n = 3 n 3 - 1 + 0 = 3 n 2

Substituindo no limite, temos

lim n → ∞ ⁡ 1 3 n 2 = 1 ∞ = 0

Com isso, vemos que se x = 0 , a série converge! Logo esse extremo do intervalo faz parte do intervalo de convergência!

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 5

Por fim, vamos analisar o outro extremo do intervalo, onde x = 2 .

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n n 3 + 1

∑ n = 1 ∞ n 1 n n 3 + 1

Como 1 n é sempre 1 , então podemos descartar esse termo

∑ n = 1 ∞ n n 3 + 1

Para testar essa série vamos usar o teste do limite-comparação.

Esse teste consiste em usar outra série dada por b n em que sabemos a respeito de sua convergência e calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n

Se o resultado for diferente de 0 e de ∞ , então a n e b n tem o mesmo comportamento (ambas divergem ou ambas convergem).

Primeiro vamos ver se a n = n n 3 + 1 converge! Pra isso vamos usar uma p-série b n = 1 n 2 . Essa família de séries é interessante pois se o expoente de n for maior que 1 , a série converge, logo, b n converge.

lim n → ∞ ⁡ n n 3 + 1 1 n 2

Calculando os extremos sobre os meios...

lim n → ∞ ⁡ n n 2 n 3 + 1 = lim n → ∞ ⁡ n 3 n 3 + 1

Dividindo todos os termos por n 3 , chegamos em

lim n → ∞ ⁡ n 3 n 3 n 3 n 3 + 1 n 3

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 3

Vimos anteriormente que ao fazer n tender a ∞ , 1 n 3 tende a 0 , ou seja

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 0 = 1

Como o resultado do teste foi diferente de 0 e diferente de ∞ , se x = 2 , a série também converge!

Então na realidade, os valores para x que fazem a série dada no enunciado convergir é dada por

0 ≤ x ≤ 2

Com o raio de convergência igual a 1 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Raio de convergência igual a 1 .

Intervalo de convergência: 0 ≤ x ≤ 2

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