PUCRIO – Cálculo 4 – MAT1154 – 2020.2 – G1 – Tarefa 2
Escreva as seguintes funções como uma série de potências em torno de zero e encontre seu raio de convergência:
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa questão!
Para transformar essas funções em séries vamos usar dois meios diferentes um para função.
Para a função vamos usar as séries geométricas, vamos tentar escrever essa função da forma:
Já que:
Para a função vamos usar a série de Maclaurin, que é bem dizer a série de Taylor só que centrada em zero, ela é da seguinte forma:
Para achar o raio de convergência, vamos usar o teste da razão
onde temos que:
Vamos aplicar isso ao que temos.
Passo 2
Vamos começar com . Temos o seguinte:
Podemos escrever da seguinte forma:
Comparando com o termo da série geométrica, temos:
Passo 3
Agora vamos calcular o raio de convergência dessa série. Temos o seguinte:
Assim temos que:
Logo o raio de convergência é .
Passo 4
Agora para o .
Temos essa função aqui:
Usando a série de Maclaurin, temos que:
Onde , assim:
Passo 5
Agora vamos calcular o raio de convergência dessa série. Temos o seguinte:
Temos que para o limite vai a zero, logo temos que:
Isso quer dizer que a série converge para qualquer valor de então o raio de convergência é infinito.
Com isso finalizamos a questão com sucesso!