UFMG – Cálculo 2 – 2022.1 – P2
2. Encontre uma representação em série de Maclaurin para a e determine o raio de convergência.
Passo 1
Fala aí, galerinhaa!
Nesse problema o enunciado nos dá uma função e ele nos pede a série de Maclaurin. Essa série é a série de Taylor só que centrada em , ok? Então a representação que a gente tá buscando é essa aqui:
Então o que a gente tem que fazer é calcular uma série de derivadas de ordem superior e ver se existe algum padrão para encontrar
Certo?
Para a gente determinar o raio de convergência, como vamos ter uma série de potências do tipo
A gente calcula essa razão daqui
E o raio de convergência vai ser dado por . Beleza?
Então vamos ver esse nosso caso em que
Partiu!!
Passo 2
Vamos começar calculando algumas derivadas da nossa função e buscar um padrão:
OPA!!! Estamos vendo um padrãozinho surgindo? Vamos ver essas funções para
Epa! Aqui ficou até mais evidente o padrão? Olha só como a potência de 16 do denominador acompanha a ordem da derivada... Além disso, no numerador a gente observa que tem um fatorial surgindo né? Discorda? Eu posso escrever a derivada de ordem como sendo:
Além disso a gente observa que o sinal dos termos se alterna. Quando temos uma derivada de ordem ímpar, temos um sinal positivo e quando temos uma derivada de ordem par, temos um sinal negativo. Dessa maneira, a gente consegue padronizar essa derivada para a ordem dessa forma aqui:
Concordam??
Passo 3
Com a derivada de ordem obtida, podemos usar a expressão da série de Maclaurin:
Então a nossa função tem a representação:
Simplificando e arrumando um pouco temos a série:
Passo 4
Como obtemos uma série de potências com essa cara aqui:
Então a gente pode escrever que:
Dessa maneira:
Arrumando um pouco ficamos com:
Com isso, o limite que a gente tem para calcular é igual a
Então e
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??