Teste da razão, Teste da comparação, Teste da integral, Teste da comparação no limite
Obtenha todos os valores reais de para os quais a série abaixo é convergente:
Passo 1
Bem, se , a série vai convergir porque só vai ter na série. Mas ok, agora considerando , vamos ver os outros valores possíveis. Esse cara parece cair bem no critério da razão, vamos testar?
Vamos ver como isso fica:
Os 2 limites são resolvidos usando L’Hospital!
Logo:
Tem que ser menor que para convergir! Assim:
Para esses valores a série converge absolutamente!
Mas temos que analisar nos limites(Porque o critério da razão não fala nada quando a razão da .
Passo 2
Para a série fica:
Bem, já sabemos que o critério da razão não vai resolver, mas essa função ta quase muito boa pra integrar, o problema é esse , vamos usar o critério da comparação:
Vamos usar o critério da integral nessa série mais simples:
Ok clã, uma substituição simples:
E quando
Assim fica:
Então essa série diverge, pelo critério da comparação não podemos dizer nada.
E se tentarmos o critério da comparação no limite com essa função, porque aí podemos aproveitar o critério da integral que usamos agora:
Então fica:
Aplicando L’Hospital:
Novamento L’Hospital:
Então as funções tem o mesmo comportamento, como já vimos que é divergente, concluímos que a série é divergente para , ufa!
Passo 3
Para :
Vamos aplicar o critério das séries alternadas:
é descrecente
E
Então a série converge pelo critério das séries alternadas. Assim, converge condicionalmente!