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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

Séries de potências

Encontre o intervalo de convergência da série

∑ k = 1 ∞ - 1 k k   3 k x - 2 2 k

Passo 1

Para analisar o intervalo de convergência, sempre fazemos testes. Ae você olha pra cara da função e ve que ela é uma série de potências, de primeira é sempre legal ver se dá pra usar teste da razão ou da raiz, como esse cara tem duas funções elevado a k e só um k solto no denominador, acho que o teste da raiz vai cair legal, vamos testar!

lim k → ∞ ⁡ - 1 k k   3 k x - 2 2 k k = lim k → ∞ ⁡ 1 k   3 k x - 2 2 k k = lim k → ∞ ⁡   x - 2 2 k 1 k 3 = x - 2 2 3 lim k → ∞ ⁡ 1 k 1 k = x - 2 2 3 lim k → ∞ ⁡ k - 1 k

Percebe que não usei o módulo de x - 2 2 k , porque ele já estava elevando a 2 k , o que torna ele sempre positivo! Entao podemos temos que resolver o limite:

L = lim k → �� ⁡ k - 1 k

Aplicando logaritmo de ambos os lados:

ln ⁡ L = lim k → ∞ ⁡ ln ⁡ k - 1 k = lim k → ∞ ⁡ - ln ⁡ k k

Como é uma indeterminação, podemos aplicar L’Hospital:

ln ⁡ L = lim k → ∞ ⁡ - 1 k 1 = 0 → L = e 0 = 1

Concluímos que o valor do limite é 1, assim ficamos com:

lim k → ∞ ⁡ 1 k   3 k x - 2 2 k k = x - 2 2 3 lim k → ∞ ⁡ k - 1 k = x - 2 2 3 < 1

Passo 2

Tendo a relação descrita, podemos achar o intervalo de convergência:

x - 2 2 3 < 1 x - 2 2 < 3 - 3 < x - 2 < 3

- 3 + 2 < x < 3 + 2

Passo 3

Como bem sabemos, o teste da raiz nada diz sobre quando da exatamente 1 , nesses casos a gente substitui o valor, ou seja, para quando x = - 3 + 2 e x = 3 + 2

Substituindo na série:

x = - 3 + 2

∑ k = 1 ∞ - 1 k k   3 k - 3 + 2 - 2 2 k = ∑ k = 1 ∞ - 1 k k   3 k - 3 2 k = ∑ k = 1 ∞ - 1 k k   3 k 3 k = ∑ k = 1 ∞ - 1 k k  

Como é uma série alternada, fazer o teste da série alternada!

Como 1 k é decrescente e lim k → ∞ ⁡ 1 k = 0 , então concluímos que a série converge!

Substituindo x = 3 + 2

∑ k = 1 ∞ - 1 k k   3 k 3 + 2 - 2 2 k = ∑ k = 1 ∞ - 1 k k   3 k 3 2 k = ∑ k = 1 ∞ - 1 k k   3 k 3 k = ∑ k = 1 ∞ - 1 k k  

Novamente converge! Logo o intervalo de convergência é:

- 3 + 2 ≤ x ≤ 3 + 2

Resposta

- 3 + 2 ≤ x ≤ 3 + 2

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