Considere a série de potências
- Determine o raio e o intervalo de convergência da série acima.
- Para quais valores de a série converge absolutamente? Para quais valores de a série converge condicionalmente?
Passo 1
Vamos começar com a letra (a). Como temos um polinômio aparecendo na nossa série, vamos usar o teste da razão. Nele temos que se:
Então, a série converge. Show. Vamos aplicar isto. Temos que:
Assim, vamos ter que:
Vamos analisar aqui justamente
Dividindo tudo pelo termo de maior grau :
Logo, vamos ter:
Essa não é a resposta final, precisamos deixar o que está dentro do módulo na forma . Temos:
Logo, temos:
Ou seja, o raio de convergência é . Determinado o raio, vamos encontrar o intervalo de convergência. Pelo módulo, temos que:
Portanto:
Por fim, precisamos testar a convergência nas extremidades. Quando :
Agora temos o termo geral:
Podemos comparar com a série harmônica alternada com termo geral:
Usando o teste da comparação no limite:
Portanto, como a série harmônica alternada converge, segue que
também irá convergir.
Agora, vamos verificar se converge para :
Assim como antes, podemos usar o teste da comparação no limite. Mas aqui, vamos utilizar a série harmônica em detrimento da série harmônica alternada:
Como a série harmônica diverge, então
irá divergir também! Show, assim nosso intervalo de convergência será composto pelo intervalo aberto unido com o ponto em que verificamos convergência:
Passo 2
Vamos para a letra (b) agora. Pelo teste da razão feito na letra (a), garantimos que a série é absolutamente convergente para:
Vamos agora testar convergência absoluta nas extremidades. Para , temos:
Portanto a série absoluta associada será:
E já vimos também na letra (a) que ela diverge nesse ponto. Por fim, para também teremos:
Logo, também irá divergir. Portanto, a série vai ser absolutamente convergente para o intervalor aberto:
Quanto a convergência condicional, temos a própria convergência da série da letra anterior. Assim, converge condicionalmente para: