Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

5)

f x = 2 3 - x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = 2 3 - x

Para isso, devemos analisar uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Sabendo dessa função a gente pode manipular a nossa função para descobrirmos a nossa série!!

Em seguida, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série que descobriremos.

Para isso, devemos analisar a razão da série geométrica resultante na expressão geral da nossa série e fazer seu módulo ser menor que 1 (para a série convergir).

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... Reescrevendo a nossa função dividindo o numerador e o denominador por 3 , temos:

f x = 2 3 1 - x 3

Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo 2 3 e razão x 3 , ou seja:

f x = 2 3 + 2 9 x + 2 27 x 2 + …

Assim, temos a seguinte série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ 2 3 x 3 n

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

x 3 < 1 ∴

x 3 < 1 ∴

x < 3

Ou seja, o intervalo de convergência é - 3,3 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ 2 3 x 3 n

- 3,3

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