UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 13j
13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:
j)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Genericamente, uma série de potência é dada por
Para determinar seu raio e intervalo de convergência temos que analisar a função e verificar para quais valores de temos que
Nos limites do intervalo de convergência temos que analisar cada serie separadamente para verificar se tal série formada converge ou diverge...
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Nesse caso a série é dada por
Pelo que podemos analisar, e portanto, para , temos que o intervalo de convergência é dado por
A partir desse intervalo de convergência, vemos que como está centrado na origem, o raio de convergência é
Para saber se os limites do intervalo fazem parte do intervalo de convergência, temos que analisar cada caso separadamente...
Nesse caso, para , temos que pelo teste das series alternadas.
Agora quanto podemos perceber que a série diverge pelo teste da comparação com uma P-Série em que .
Logo, o intervalo de convergência é dado por
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
