Após explicitar a série de Taylor de centrada em , determine o raio de convergência.
Passo 1
Para determinar o raio de convergência, vamos usar o teste da razão. Antes de aplicá-la, vamos recordar:
Dada uma série de portência:
Se , então o seu raio de convergência é
Lembrado da teoria, vamos para a resolução.
Passo 2
Para começar, vamos manipular a série de Taylor encontrada para ficar no formato:
Assim, temos que e, portanto .
Aplicando o limite, temos:
Se , então . Logo, o raio de convergência é 2.
Resposta
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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln n