UFMG – Cálculo 2 – 2022.1 – P2
- Seja uma função infinitamente derivável. Suponha que a série de Taylor da centrada em seja dada pela série
- Determine o raio de convergência desta série
Passo 1
Fala aí, galerinhaa!
Esse problema é sobre convergência dessa série aqui
Esse tipo de série é legal a gente usar o teste da razão, não sabe do que eu to falando??
Então se liga aqui... Vamos supor que a gente tem uma série desse tipo aqui:
O teste da razão nos diz que a série vai ser convergente se a gente tiver isso aqui:
Então, se a gente calcular isso e der um valor , o raio de convergência é Então vamos usar isso e calcular esse cara na nossa série!!Partiu!!
Passo 2
Pela cara da nossa série, a gente vê que temos:
Então, a gente primeiro cria o só adicionando no do termo aqui de cima:Agora a gente faz a razão :
Manipulando um pouco temos:
Como precisamos do módulo desse cara:
Passo 3
Agora a gente tem que calcular o limite:
Colocando em evidência naquele denominador temos:
Calculando aquele limite temos:
Opaaa!! Encontramos o nosso , e esse limite já nos diz que a série é convergente né?Então temos:
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??