3. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

30.  ∫ 0 0.4   l n ⁡ 1 + x 4 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida ∫ l n ⁡ 1 + x 4 d x como uma série de potências e determinar o raio de convergência.Começamos por encontrar a expansão em série de potências para a função l n ⁡ 1 + x 4 . Uma maneira de fazer isso é usar a expansão da função logarítmica:

l n ⁡ 1 + x 4 = ∑ n = 1 ∞   ( - 1 ) n + 1 x 4 n n

Agora, podemos integrar termo a termo a série de potências:

∫   l n ⁡ 1 + x 4 d x = ∑ n = 1 ∞   ( - 1 ) n + 1 x 4 n + 1 n ( 4 n + 1 ) + C

Onde C é uma constante de integração.

Passo 2

Agora, vamos calcular o raio de convergência da série de potências usando o teste da razão:

R = l i m n → ∞   a n + 1 a n

Onde a n é o coeficiente de x n na série. No caso da série ∑ n = 1 ∞   ( - 1 ) n + 1 x 4 n + 1 n ( 4 n + 1 ) , temos a n = ( - 1 ) n + 1 1 n ( 4 n + 1 ) .Calculamos o limite:

R = l i m n → ∞   ( - 1 ) n + 2 1 ( n + 1 ) ( 4 ( n + 1 ) + 1 ) ( - 1 ) n + 1 1 n ( 4 n + 1 ) = l i m n → ∞   n ( 4 n + 1 ) ( n + 1 ) ( 4 n + 5 ) = 1

Portanto, o raio de convergência da série de potências é R = 1 .

Passo 3

Agora, para encontrar a integral definida ∫ 0 0.4   l n ⁡ 1 + x 4 d x , podemos usar a série de potências que calculamos:

∫ 0 0.4   l n ⁡ 1 + x 4 d x = ∑ n = 1 ∞   ( - 1 ) n + 1 ( 0.4 ) 4 n + 1 n ( 4 n + 1 )

Resposta

Lembrando que o raio de convergência é R=1, podemos calcular a soma da série truncada para obter uma aproximação numérica da integral.

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