UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Aline Lunkes - Lista 8 - Série de Potências, Questão 3.30
3. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Vamos calcular a integral indefinida como uma série de potências e determinar o raio de convergência.Começamos por encontrar a expansão em série de potências para a função . Uma maneira de fazer isso é usar a expansão da função logarítmica:
Agora, podemos integrar termo a termo a série de potências:
Onde é uma constante de integração.
Passo 2
Agora, vamos calcular o raio de convergência da série de potências usando o teste da razão:
Onde é o coeficiente de na série. No caso da série , temos .Calculamos o limite:
Portanto, o raio de convergência da série de potências é .
Passo 3
Agora, para encontrar a integral definida , podemos usar a série de potências que calculamos:
Resposta
Lembrando que o raio de convergência é R=1, podemos calcular a soma da série truncada para obter uma aproximação numérica da integral.