UFMG – Cálculo 2 – 2022.1 – P2
2. Encontre uma representação em série de Maclaurin para a e determine o raio de convergência.
b)
Passo 1
Fala aí, galerinhaa!
Nesse problema o enunciado nos dá uma função e ele nos pede a série de Maclaurin. Essa série é a série de Taylor só que centrada em , ok? Então a representação que a gente tá buscando é essa aqui:
Então o que a gente tem que fazer é calcular uma série de derivadas de ordem superior e ver se existe algum padrão para encontrar
Para a gente determinar o raio de convergência, como vamos ter uma série de potências do tipo
A gente calcula essa razão daqui
E o raio de convergência vai ser dado por . Beleza?
Então vamos ver esse nosso caso em que
Partiu!!
Passo 2
Vamos começar calculando algumas derivadas da nossa função e buscar um padrão:
Tô vendo padrão nenhum kkkkk Vamos ver se melhora quando olhamos essas funções para
A gente consegue observar uma coisa... as derivadas de ordem par são todas iguais a zero. AS ímpares tem um padrãozinho escondido. Olha só:
Já dá para supor que
Onde é o fatorial duplo:
E isso só vale para ímpar hein!!!
Passo 3
Bom... Escrever uma cara para essa série pode não ser muito intuitivo de cara. Então, nesses casos, vale a pena a gente escrever alguns termos da série de Maclaurin e ver se a gente consegue escrever uma formula para eles. Abrindo alguns valores da série temos:
Usando o que a gente sabe sobre a cara das derivadas dessa função, temos:
Opa!! A gente pode escrever o seguinte:
Justamente pois quando tivermos temos uma potência de , para temos e por aí vai, certo? Isso é bem padrão quando nos deparamos com uma série em que os expoentes de são todos ímpares.Bom, resta agora descobrir uma cara para
Passo 4
Bom, a gente tem o seguinte:
Usando o que a gente observou olhando as derivadas, a gente tem que, por exemplo, está ligado com
A mesma coisa acontece com e
Então a gente sabe que
E a fórmula geral de fica:
Dessa maneira, a série fica representada como:
Passo 5
Agora a gente vai encontrar o raio de convergência. Como a gente obteve esse cara aqui:
Vamos calcular esse limite
Calculando o limite:
Então e
E temos um raio infinito de convergência, ou seja, essa série é sempre convergente!
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??