UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 12 – Questão 23
Se a série de potências diverge, então é correto afirmar que
- A série diverge para
- A série converge para
- A série converge para
- A série converge para
- A série diverge para
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa série aqui
E disse uma informação muito importante sobre ela: essa série converge
Em seguida deu várias afirmativas, e perguntou quais delas são verdadeiras. Mas como assim concluir sobre a convergência de outras séries com base nessa aí?
Isso mesmo, estamos falando em uma série convergente e, aplicando o teste da razão, podemos determinar o qual o raio de convergência! E assim tirar informações muito poderosas sobre outras séries! Tudo que estiver dentro do raio de convergência: converge! O que estiver fora, diverge! E o que estiver no limite, precisamos avaliar!
Então a ideia é achar o raio de convergência da série dada e depois avaliar item a item para ver o que conseguimos concluir!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A série dada foi essa aqui
Aplicando o teste da razão para convergência absoluta podemos encontrar o raio de convergência
Como essa série converge, sabemos que esse limite é . Tranquilo? Simplificando e comparando com um raio de convergência temos
Vemos que nesse caso! Então sabemos que se estiver nesse intervalo, a série é convergente!
Beleza?
Concluímos que para qualquer que esteja dentro do intervalo entre e a série resultante é convergente! Sabemos também que em a série converge, pois é o que está descrito no enunciado, mas não podemos afirmar nada sobre !
Passo 3
Agora vamos relembrar das alternativas:
Dentro do raio de convergência nossa série converge, sendo assim, a alternativa (c) está correta
Fora do raio de convergência nossa série diverge: então a alternativa (a) está correta
Podemos afirmar algo sobre exatamente nos extremos do intervalo? Podemos afirmar apenas em , mas em não! Isso porque precisamos conhecer a cara de para poder avaliar a série, e sem isso fica impossível!
Então descartamos todas as alternativas que dizem “maior/menor ou igual a tal”, pois não podemos afirmar quanto àquele igual!
Sendo assim, apenas as alternativas (a) e (c) estão corretas!
Ufa, terminamos! #partiu praticar mais?