Séries de Potência
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência
Passo 1
Vamos começar achando o raio de convergência dessa série, para isso vamos aplicar o teste da razão na forma simplificada para séries de potências.
Então
Lembrando que
Temos
Como , temos
Passo 2
Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em sabemos que esse intervalo vai ser
Pelo menos nesse intervalo a série converge, agora vamos descobrir nas extremidades.
Passo 3
Primeiro para
A série vai ficar
Esse cara é feio demais para imaginar qualquer coisa.
Essa é uma série alternada, vamos fazer o teste da série alternada, aqui temos
Temos que ver se esse cara é decrescente e se o seu limite vai para .
Derivar essa parada vai ser levemente monstra né? Vamos tentar comparar com
Arrumando isso
Vamos analisar a razão entre esse caras
Repara que quando maior o mais aquele cara se aproxima do limite exponencial, que é
Então temos que
A dúvida aqui é se isso vai se aproximando por números por cima ou por baixo de , se for por cima teremos algo assim
E essa parada vai ser crescente
Se for por baixo temos
E ela vai ser decrescente.
Temos que analisar
A medida que cresce esse valor cresce também, porque isso é um exponencial meio esquisito, assim como esse valor começar em com temos
Isso nos diz que
Então
Isso nós diz que se aumenta o , aumenta o termo geral, dessa forma
E pelo teste da série alternada ela diverge.
Passo 4
Vamos fazer agora
A série vai ficar
Essa é uma série alternada, temos que analisar os critérios da série alternada.
Primeiro, vamos repara que temos
Vimos ali em cima que esse limite não é zero. Além disso, também vimos que o termo geral é crescente. Ou seja, essa série vai ser divergente
Passo 5
O intervalo de convergência vai ser