UNICAMP - (Cálculo 3) - P2 2020.1
Encontre o intervalo de convergência da série . Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.
Passo 1
Ih caramba, que somatório feioso! Sério mesmo, olha quanta coisa aqui:
Mas galera, uma coisa importante desse somatório é que como ele ocorre em função de , o ta ali só pra atrapalhar. Alguns valores que ele assumir vão tornar a série convergente, outros divergente. Vamos ver quais? Pra isso, aplicando o teste da razão, temos que, para:
A série converge se:
Po, então substituindo no limite, temos:
Simplificando esse limite feioso, temos:
Tirando do limite tudo que não tem a ver com :
E finalmente, aplicando o limite, temos:
E olha só! Agora podemos achar um intervalo de convergência pra . Só abrir o módulo:
Esse, no entanto, não é nosso intervalo de convergência real, pois falta testarmos as extremidades dele, ok? Bora lá.
Passo 2
Bem galera, parece que acabou, mas não conhecemos a convergência da série exatamente nos extremos do intervalo encontrado! Bora achar então. Começando com , temos:
A série que sobrou é quase a série harmônica! Ela é, na verdade, a série harmônica alternada. Pra saber se esse cara converge ou diverge podemos usar o Critério de Leibniz, que diz que, dada uma série alternada:
Onde, no nosso caso, , a série vai convergir se:
E galera, não é que nosso satisfaz as duas condições? Afinal:
É o mesmo que:
O que, bem, é verdade hahaha e de fato, temos que:
Show, mas e pra , como fica? Vamos ver?
E galera, temos aí a Série Harmônica mesmo. Apesar do seu irmão ali em cima convergir, esse ai diverge. Sendo assim, o intervalo de convergência real da nossa série será:
Resposta
Intervalo real de convergência será para