UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 13k
13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:
k)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Nesse caso, como temos um fatorial no denominador, para determinar o raio e o intervalo de convergência temos que aplicar o teste da razão.
O teste da razão de uma série consiste em calcular o limite de , ou seja
Para a série convergir, o resultado do limite tem que ser menor que dessa forma vamos obter uma função de em um intervalo numérico e esse intervalo resulta no intervalo de convergência da série.
Nas bordas do intervalo temos que analisar separadamente para observar se há convergência.
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Nesse caso a série é dada por
Aplicando o teste da razão chegamos em
Simplificando...
Fazendo , chegamos em
Como esse resultado tem que ser maior que para a série convergir, temos
Perceba que para essa inequação ser verdadeira, pode assumir qualquer valor, portanto o intervalo de convergência é
Com o raio
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
