UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Aline Lunkes - Lista 8 - Série de Potências, Questão 2.18
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
18)
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:
Nesse caso, vamos dividir o problema em duas partes.
Primeiro vamos encontrar a série de potência de .
Não entendeu? Então bora junto aqui!!
😉
Passo 2
Então... a série de potência de é:
Agora precisamos fazer com que fique elevada ao cubo.
Para isso devemos derivar 2 vezes a expressão.
Passo 3
Assim, fazendo a derivada primeira, temos:
Fazendo a segunda derivada:
Dessa forma, a série de potência fica:
Passo 4
Agora, para determinar o raio de convergência, temos:
Ou seja, o raio de convergência é .
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln n