UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 5a
Seja a função definida pela série de potências
- Ache o domínio de
Passo 1
Olá, tudo tranquilo? Precisamos encontrar o domínio dessa série de potências aqui
Mas você o que tem a ver domínio com uma série de potências?
Dizemos o domínio de uma função é o conjunto de valores de que podem ser substituídos na função sem causar ‘problemas’ (divisão por zero ou raiz negativa de índice par)
O que tem isso a ver com série de potências? Quando uma função pode ser escrita em termos de uma série de potência, dizemos que essa série representa a função
Isso significa que onde a série converge, é justamente onde a função existe!
Então a ideia aqui é encontrar o intervalo de convergência da série dada! Esse será o domínio da função!
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa série é a seguinte
Nosso termo geral incluindo é
Agora fazendo temos
Tranquilo até aqui?
Agora vamos determinar a razão e simplificar ao máximo
Agora vamos calcular o limite quando , lembrando que a parte em pode sair do limite
Podemos aplicar a regra de L’Hôpital para resolver aquele limite
E agora nossa série será convergente se
Beleza?
Passo 3
Agora nossa missão é identificar o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades! Partindo do raio de convergência
Encontramos nosso intervalo:
Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de :
Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.
Passo 4
Para o primeiro valor de , com , nossa série de potências
Fica assim
Temos uma série alternada, então vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas para determinar se converge ou não!
O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:
1º)
2º)
Nossa série tem , portanto , ok! Primeiro critério satisfeito! Agora o segundo
Oba! Nossa série converge no extremo inferior! Então ali o intervalo é fechado
Agora vamos testar no limite superior, com
Temos uma série que é bem parecida com a p-série convergente
Então aqui podemos aplicar o Teste da Comparação dos Limites
Nesse teste a gente procura uma série que saibamos o comportamento e que se parece com a que queremos analisar , e fazemos o seguinte:
Se o resultado desse limite for um número finito positivo, isso significa que ambas as séries têm o mesmo comportamento
No nosso caso e . Calculando o limite temos
Vamos precisar aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez e avaliar o limite
Show! Concluímos que essa série é convergente! Sendo assim, no intervalo superior o intervalo também é fechado!
Passo 5
Recapitulando, nossa série:
Achamos o raio de convergência
E intervalo com um extremo aberto e outro fechado:
Sendo assim o domínio da função que é representada por essa série é
Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?