Unicamp, Cálculo 1, 2019.2, P2, Questão 3.
Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista.
Passo 1
Vamos começar com esse primeiro limite:
Como a gente tem uma função meio complicada no expoente, uma boa ideia é tirar o logaritmo. Olha só o que acontece nesse caso:
E como a função logaritmo é contínua, você pode colocar o logaritmo “pra dentro do limite”:
Agora vamos usar outra propriedade dos logaritmos:
Então:
Beleza, já simplificamos bastante.
Passo 2
Agora vamos dar uma olhada nessa função.
Quando tende a zero, o também tende a zero, e tende a .
Ok, isso está com cara de regra de L’Hospital. Vamos reescrever a função desse jeito aqui:
Beleza, agora que a gente inverteu o , tanto o numerador quando o denominador estão tendendo a ! Já dá pra aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Pra aplicar essa regra, primeiro temos que tirar a derivada das funções de cima e de baixo. Então vamos fazer isso:
Então, substituindo no limite:
Simplificando essa fração:
Agora sim, esse limite é tranquilo de resolver, quando tende a zero, a função também tende a zero, então:
E se o logaritmo de é zero, então:
Pronto, resolvemos o primeiro limite!
Passo 4
Agora vamos para o próximo limite:
Vamos ver o que está acontecendo aí quando tende ao infinito.
Ok, as duas funções estão indo pro infinito. Então podemos aplicar a regra de L’Hospital de cara. Vamos começar calculando as duas derivadas:
Então o limite fica assim:
Simplificando um pouco essa fração:
E nesse caso, quando tende ao infinito, o limite tende a zero (porque estamos dividindo a função por um valor muito grande!) então:
Resposta
(a) .
(b) .