Calcule o limite

lim x → + ∞ ⁡ 1 + x 2 1 ln ⁡ x

Passo 1

Substituindo x → + ∞ no limite, caímos numa indeterminação “ ∞ 0 ”. Pra sair dessa vamos fazer o seguinte:

1 + x 2 1 ln ⁡ x = e ln ⁡ 1 + x 2 1 ln ⁡ x = e 1 ln ⁡ x ln ⁡ 1 + x 2 = e ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x

Aplicando o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + x 2 1 ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x = e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x

Passo 2

Agora nos sobrou calcular o limite

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x

Que dá numa indeterminação “ ∞ / ∞ ”, ou seja, dá pra aplicar l’Hôpital!

Daí vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + x 2 2 x 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 1 + x 2

Caímos de novo numa indeterminação “ ∞ / ∞ ”, então vamos de l’Hôpital de novo:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 1 + x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 x = 4 2 = 2

Passo 3

Então o nosso limite lá do começo vai dar:

e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x = e 2

Resposta

e 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln