Calculo 1 – UFPE – 2° EE
Calcule os seguintes limites, identificando o tipo de indeterminação, caso existam:
Passo 1
Sempre vamos começar uma questão de limites substituindo o valor que tende, para verificarmos se há uma indeterminação ou não. Somente depois de verificado é que podemos discutir o que fazer. Portanto,
Agora sim. Temos uma indeterminação do tipo . Como aconteceu de obtermos uma indeterminação, precisamos utilizar alguma metodologia para resolvê-la.
Portanto, vamos utilizar a regra de L’Hospital. Para podermos utilizar esta regra na resolução de limites, temos que reorganizar a nossa função para conseguirmos uma indeterminação do tipo ou . Nós conseguimos isto fazendo o termo , que vai tender ao infinito, passar para o denominador. Se nós fazemos isso, vamos conseguir algo do tipo:
Esta é a ideia da coisa. Vamos confirmar aqui abaixo.
Que é o que a gente deixou claro logo acima. Agora sim, podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Relembrando, a regra de L’Hospital nos diz que:
Isto é, podemos pegar a função do numerador (para esta questão) e do denominador ( para esta questão), derivarmos separadamente e depois fazer a divisão da derivada do numerador pela derivada do denominador.
É claro que isto só pode ser feito se houver uma indeterminação do tipo ou , conforme foi checado anteriormente. Caso isto não aconteça, temos que fazer alguma operação para que isto aconteça.
Passo 2
Bom, agora que confirmamos que podemos aplicar a regra de L’Hospital, vamos aplica-la. Começaremos derivando o numerador e o denominador. Portanto, se o numerador é , aplicando a regra da cadeia, temos:
Lembrando a vocês, a derivada da função mais fora , que é , aplicada a função de dentro , vezes a derivada da função de dentro , que é .
Agora, vamos derivar o numerador. Se ele é , então,
Portanto, o nosso limite
Agora sim, nós substituímos a derivada e depois fizemos extremos e meios para reorganizar a função. Agora, temos que substituir o no lugar de e verificar o resultado do limite. Logo,
Eita, nova indeterminação! Temos que utilizar novamente a regra de L’Hospital.
Passo 3
Para aplicar novamente a regra de L’Hospital, vamos ter de derivar o numerador e o denominador. Derivando o nosso novo denominador , temos .
Já para o denominador , a sua derivada é .
Substituindo esta relação no nosso limite, temos:
E assim chegamos a resposta do nosso limite!