UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 3.5b
Se um objeto de massa m é solto a partir do repouso, um modelo para sua velocidade v após t
segundos, levando-se em conta a resistência do ar, é
onde g é a aceleração da gravidade e c é uma constante positiva. Para um valor fixo de t, use a Regra de L’Hospital para calcular , o que você pode concluir sobre a velocidade de um objeto caindo no vácuo?
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão nos pede para utilizar a regra de L’Hospital para calcular o limite da velocidade de um objeto quando . Mas por que usar a regra de L’Hospital para esse limite? Bem, se você der uma olhada na expressão para a velocidade, vai perceber que, quando c = 0, temos que uma indeterminação dada pelo zero no denominador e no numerador, pois E como a gente usa a regra de L’Hospital para resolver esse problema? Basta derivar a função do numerador e a função do denominador em relação a c. Então vamos lá!
Passo 2
Bem, como a função do denominador é simplesmente c, a gente sabe que a derivada dela em relação a c é 1. Agora, temos que derivar em relação à c. Se definirmos as funções e , temos que suas derivadas são e e, assim, podemos utilizar a regra de cadeia para derivar h(c) escrevendo-a como . Então, a derivada de h(c) é
Então, o limite que queremos calcular é simplesmente
Essa é justamente a velocidade que o objeto teria se não houvesse a resistência do ar: nesse caso, o objeto estaria sujeito apenas à força da gravidade e sua velocidade aumentaria linearmente com a passagem do tempo, como constatado pelo limite v = gt.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!