15) Calcule as integrais de linha diretamente e também e também pelo Teorema de Green:
a)
onde é a circunferência unitária , , com .
Passo 1
Antes de tudo, sempre é bom lembrar que uma integral de linha escrita assim
é a mesma coisa que uma escrita assim ...
Onde no caso,
Vamos então primeiro resolver essa integral de linha pelo método direto pedido:
1º - Parametrizando a curva .
2º - Encontrando o termo .
3º - Trabalhando com a função vetorial que está sendo integrada.
Passo 2
Primeiro então teríamos que parametrizar a curva , mas, para a nossa alegria, já está feito:
Ou seja:
onde ...
Passo 3
Para encontrar o termo ...
precisamos da derivada da parametrização, logo:
Passo 4
Faltando por último então, trocar os termos da função pelos termos da parametrização:
Passo 5
Voltando então para a integral de linha que queremos...
e substituindo tudo que determinamos:
Resolvendo o produto escalar...
Calculando a primeira integral...
Calculando a segunda fazendo uma substituição do tipo:
e trocando também os limites de integração...
Os limites deram os mesmos e a função que está sendo integrada, , é continua, então...
e o resultado é
Passo 6
Como o próprio problema pediu, agora vamos resolver a mesma integral utilizando o teorema de Green...
Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:
1º - Uma curva fechada delimitando a região .
2º - A curva , orientada positivamente.
3º - Um campo sem singularidades onde estamos trabalhando.
Vamos averiguar?
Passo 7
Precisamos de uma curva fechada e delimitando uma região . Ora, a curva , pelo próprio enunciado, é uma circunferência de raio e centrada na origem:
Observe que a região , é justamente o interior dessa circunferência, ou seja, é o círculo.
Passo 8
Como a parametrização dada foi a usual
e ...
A circunferência só pode estra girando no sentido anti-horário logo com a orientação positiva!
Passo 9
O campo que estamos trabalhando...
Não tem um problema em nenhum lugar, o que nos garante que ele já está sem singularidades !
Passo 10
Condições do Teorema sendo satisfeita, podemos aplicar a igualdade numa boa:
Se queremos a integral de linha, calculemos a integral dupla beijinho no ombro ;)
Calculando, primeiro, essas derivadas parciais aí do campo...
Logo...
Passo 11
Então a integral dupla que temos que resolver é...
Epa! O que é uma integral dupla de ? sim! É a área da região
Como o raio é ...