16) Calcule as seguintes integrais:
c)
onde é a fronteira da região limitada por , e , com .
Passo 1
Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando
ele é chato. Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema. Mas, para você ter certeza se é Green ou não, calculemos
As derivadas parciais são...
logo
De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green
Passo 2
O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:
Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:
1º - Uma curva fechada delimitando a região .
2º - A curva , orientada positivamente.
3º - Um campo sem singularidades onde estamos trabalhando.
Vamos averiguar?
Passo 3
1º - Precisamos de uma curva fechada e delimitando uma região . Ora, a curva , pelo próprio enunciado, é a curva composta por essas três retas: , e , ...
Onde a região é justamente...
2º - E mais, ela está orientada positivamente sim!!!
Quando o problema não nos fala nada sobre a orientação, assumimos que é no sentido anti-horário, portanto positivamente
3º - O campo que estamos trabalhando...
nem tem singularidade :D!
Passo 4
Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:
Se queremos a integral de linha, calculemos a integral dupla e beijinho no ombro ;)
Substituindo...
Para calcular essa integral dupla, devemos descrever a região . Como estamos dentro de um pedacinho de circunferência, nada mais justo que pensarmos nas coordenadas polares:
Passo 5
Para encontrar os limites das variáveis olhemos para a região novamente:
Perceba que o raio está saindo da origem e indo até a borda máxima que é...
O ângulo varia da reta do lado direito até a reta do lado esquerdo no segundo quadrante. A reta no primeiro quadrante tem equação
em relação a reta ...
Logo...
Passo 6
Retornando a integral dupla que encontramos por Green...
e substituindo tudo pelas novas coordenadas (cuidado para não esquecer o Jacobino):
Calculando...