Bem, eu sei que está muuuito confuso o enunciado e que apareceram vários caras “novos” como e entre outros. Porém o que o problema quer na realidade é uma integral de linha:

Onde a curva é uma curva fechada entre esse pedacinho da função cúbica e essa reta:

Pow! Então eu te recomendo que você não se preocupe agora com aquelas outras informações dadas agora e que comece a resolvendo a integral de linha normalmente como estamos acostumados até agora:

• Como estamos em uma região fechada, aplicando o nosso amigo “O Teorema de Green” ! Venha comigo! :D

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma curva fechada que delimita .

2º - Orientadas positivamente.

3º - Um campo sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

Sobre uma curva fechada está ok, pois a como já vimos ela é fechada, inclusive foi a nossa inspiração inicial para aplicar o Teorema, certo?



E em relação a ser orientada positivamente também está ok, pois quando um problema não nos diz nada sobre a orientação, adotamos a curva girando no sentido anti-horário... Orientada positivamente, portanto. :D

Campo sem singularidades também está sendo satisfeito, pois o que acontece, o campo é formado das primeiras derivadas de a qual sabemos ser de classe , então também é de classe . Sendo assim, ele não tem nenhum problema, pois se tivesse, ele não seria, saca?

Passo 4

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

Se queremos essa integral de linha, calculemos a integral dupla e é só correr para o abraço. Porém antes, temos que determinar essas derivadas parciais aí:

Como...

Calculando a primeira derivada parcial...

Então...

E a integral dupla fica sendo:

Passo 5

Agora, utilizemos a última informação:

• Que é uma função que leva a (então é uma função escalar de duas variáveis ) e que .

Cara, se você não se lembra dele, é um operador de derivadas parciais ao qual damos o nome de Operador Laplaciano.

Não estamos interessados no significado físico dessa coisa, mas sim no matemático. E pow, esse operador matematicamente é definido como...

é o operador de derivadas parciais e é esse vetor aqui:

Então é o gradiente dado pelo produto da função escalar pelo operador:

E aplicando o divergente (o produto escalar de vetores), fica...

Como ...