Calcule a integral:
Onde é o quadrado cortado no primeiro quadrante pelas retas e
Passo 1
Quando temos uma integral de linha em uma região fechada, temos que pensar imediatamente no teorema de Green:
No nosso caso:
E a nossa regiaõ é o quadrado de lado . Com um dos vértices na origem.
Passo 2
Então vamos aplicar o teorema. Primeiro precisamos calcular as derivadas:
E substituindo isso na integral (que vamos chamar de :
Passo 3
Agora é só integrar isso ao longo do quadrado! O vai variar de até , e o vai variar de até também.
E agora vamos organizar um pouco a integral:
E já está tudo pronto para resolver:
Resposta
O valor da integral é .