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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.3.7

7. Na regão D ; interior à elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 e exterior à circunferência x 2 + y 2 = R 2 , com 0 < R < min ⁡ a , b , considere o campo vetorial F → = 2 x y + s e n x 2 i → + x 2 + 2 x + cos ⁡ y 2 j → . Calcular a integral de linha ∫ ∂ D F → d s .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que calcular a integral do campo vetorial F → = 2 x y + s e n x 2 i → + x 2 + 2 x + cos ⁡ y 2 j → em D em que D é a região interior à elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 e exterior à circunferência x 2 + y 2 = R 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = 2 x y + s e n x 2 e Q = x 2 + 2 x + cos ⁡ y 2 .

∂ Q ∂ x = ∂ x 2 + 2 x + cos ⁡ y 2 ∂ x = 2 x + 2

∂ P ∂ y = ∂ 2 x y + s e n x 2 ∂ y = 2 x

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ ∂ D F → d s = ∫ ∫ 2 x + 2 - 2 x d A

∫ ∂ D F → d s = ∫ ∫ 2 d A

∫ ∂ D F → d s = 2 ∫ ∫ d A

O que nos restou foi a integral da derivada da área, que resulta justamente na área.

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Nossa região est�� dentro da elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 e fora da circunferência x 2 + y 2 = R 2 .

Podemos simplificar a equação da elipse como

b 2 x 2 a 2 b 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = a 2 b 2 a 2 b 2 → x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A área de uma elipse é dada por

A e l i p = π a b

Onde a e b são exatamente as medidas da equação

Já a área da circunferência é dada por

A c i r c = π R 2

Como nossa região está dentro da elipse e fora da circunferência, a área da nossa região é dada por

A = A e l i p - A c i r c = π a b - π R 2

A = π a b - R 2

Substituindo no teorema...

∫ ∂ D F → d s = 2 ∫ ∫ d A = 2 π a b - R 2

∫ ∂ D F → d s = 2 π a b - R 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ ∂ D F → d s = 2 π a b - R 2

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