Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pela curva plana fechada determinada pelo seguinte par de curvas: e .
Passo 1
O enunciado pede pra usar o teorema de Green para o cálculo de área, então vamos relembrar como que fica isso.
O teorema de Green nos diz que:
E sabemos que o podemos encontrar a área pela integral dupla:
Então, basicamente, o que temos que fazer pra ligar as coisas é:
O campo mais simples que satifaz essa condição seria:
Passo 2
Vamos agora observar a interseção entre essas curvas
Então, a curva vai ser a união da curva .
A parametrização da fica
Observe que estamos gurando no sentido contrário para manter a orientação positiva.
E a parametrização de fica
Passo 3
Então o que vamos calcular é:
Nosso campo escolhido foi o , logo ficamos com
Com tudo isso, a área será determinada então por:
Calculando então
Lembtando que Escrevendo em função da parametrização ficamos com
Calculando agora
Onde