UNICAMP. Calculo 2. 2021.2 - 5ª Tarde. Prova: P3. Questão 2.
Usando o Teorema de Green, calcule a área da região do plano limitada pela curva dada por ,
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão foi dada uma curva parametrizada como , onde varia entre e .
Nosso objetivo é calcular a área dessa curva a partir do Teorema de Green.
Ok, mas como fazemos isso?? 🤔🤔
Primeiro, temos que confirmar se é uma curva fechada, isso acontece quando .
Se varia de a , e , logo
Com isso provamos que a curva é fechada.
Dessa forma, podemos arbitrar um campo em que para calcular a área
Isso porque o Teorema de Green é dado por
Ou seja, para satisfazer o campo que definimos, podemos usar
Entendeu? Bora começar!
Passo 2
Podemos reescrever a integral fechada de como
Derivando , temos
Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a derivada do é igual a , logo a derivada de é igual a e pela regra da cadeia, a derivada de é dada pela derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.
Substituindo por de volta
Agora substituímos em
Dessa forma, nossa integral é dada como
Calculando o produto interno, temos
Entendeu essa parte? 😉
Passo 3
Agora calculamos essa integral.
Para a integral de , vamos reescrever essa função de integração como
Se fizermos e , temos
Substituindo na integral
Reescrevendo as integrais, temos
Para a integral de podemos fazer e , ou
Voltando para
Aplicando os limites de integração
Fazendo o mesmo para a integral de , vamos chegar em
Aplicando os limites de integração
Substituindo os resultados em
Portanto, a área da curva é .
Incrível, não é? 😁
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
