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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 4 – Questão 2

(Cap.16.4 - Exercício 2) Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x y d x + x 2 d y

C é o retângulo com vértices 0,0 , 3,0 , 3,1 , 0,1

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem?

Bom nossa questão é bem direta, primeiro devemos calcular nossa integral de linha diretamente, ou seja, como aprendemos inicialmente fazendo a parametrização e depois calculando a integral ∫ a b F r t ⋅ r ' t d t . Em seguida devemos utilizar o Teorema de Green visto na seção 4 do livro.

Passo 2

(a) Como C é um retângulo, vamos ter que dividir C em quatro partes de forma que C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 , onde cada parte é uma reta que liga um ponto ao outro, de forma que

∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3 + ∫ C 4 F ⋅ d r 4

Onde F = x y , x 2

Colocando os quatro pontos no plano para ficar claro de quais retas precisamos

Para que a orientação seja positiva, precisamos da reta de 0,0 a 3,0

C 1 : r 1 t = 3 t , 0 , 0 ≤ t ≤ 1

r 1 ' t = 3,0

E a integral é

∫ C 1 F ⋅ d r 1 = ∫ 0 1 3 t ⋅ 0 , 3 t 2 ⋅ 3,0 d t

∫ 0 1 0 d t = 0

A outra reta sai de 3,0 e vai até 3,1 tem parametrização

C 2 : r 2 t = 3 , t , 0 ≤ t ≤ 1

r 2 ' t = 0,1

E a integral é

∫ C 2 F ⋅ d r 2 = ∫ 0 1 3 t , 3 2 ⋅ 0,1 d t

∫ 0 1 9 d t = 9

Da mesma forma precisamos da reta que sai de 3,1 e vai até 0,1 , que pode ter parametrização

C 3 : r 3 t = 3 − 3 t , 1 , 0 ≤ t ≤ 1

r 3 ' t = − 3,0

∫ C 3 F ⋅ d r 3 = ∫ 0 1 3 − 3 t , 3 − 3 t 2 ⋅ − 3,0 d t

∫ 0 1 − 9 + 9 t d t = − 9 t + 9 t 2 2 0 1

− 9 + 9 2 = − 9 2

Por fim temos a reta que vai de 0,1 até a origem, fechando a curva C :

C 4 : r 4 t = 0,1 − t , 0 ≤ t ≤ 1

r 4 ' t = 0 , − 1

∫ C 4 F ⋅ d r 4 = ∫ 0 1 0 1 − t , 0 2 ⋅ 0 , − 1 d t = 0

Então temos que

∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3 + ∫ C 4 F ⋅ d r 4

0 + 9 − 9 2 + 0 = 9 2

Passo 3

(b) Pelo Teorema de Green temos que

∮ C x y d x + x 2 d y = ∬ D ∂ ∂ x x 2 − ∂ ∂ y x y d A

∬ D 2 x − x d A = ∬ D x d A

Como D é um retângulo

∫ 0 3 ∫ 0 1 x d y d x = ∫ 0 3 x d x

x 2 2 0 3 = 3 2 2 = 9 2

Bora fazer mais questões?!

Bons Estudos!

Resposta

Resolução nos passos acima

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