Teorema de Green
Calcule , em que
E é a fronteira orientada positivamente de uma região que tem área .
Passo 1
Bom, como o problema nem nos dá a expressão da curva em que queremos fazer a integral de linha, já sabemos que só podemos calcular isso aí por Green, certo? É o que vamos fazer então:
Temos então
Passo 2
Beleza, agora precisamos calcular
Temos:
Como encontramos uma expressão relativamente simples, isso quer dizer que estamos no caminho certo!
Passo 3
Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:
Passo 4
Bom, como sabemos que a integral dupla de em uma região nos dá a área dessa região, podemos escrever:
Já que o enunciado nos diz que essa área é igual a , temos:
Resposta
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